ЛИТЕРАТУРНЫЙ КЛУБ - СЕРЕБРЯНЫЙ РАССВЕТ

Информация о пользователе

Привет, Гость! Войдите или зарегистрируйтесь.


Вы здесь » ЛИТЕРАТУРНЫЙ КЛУБ - СЕРЕБРЯНЫЙ РАССВЕТ » Загадки и тайны вокруг нас » Непознанное. Семь рассказов о математике


Непознанное. Семь рассказов о математике

Сообщений 21 страница 29 из 29

21

... американский офисный кролик понравился:) что будет, если соединить его и ... Андриано Челентано :)

перехдим в офис, так в офис. Итак:

Рассказ 5-й. Три задачи

Задача первая, совершенно канцелярская (из жизни нашего издательства)

Случайно перевернули ящик с авторскими договорами. Теперь надо их  поставить обратно в ящик в алфавитном порядке фамилий. Чтобы почувствовать всю прелесть задачи, рекомендую Вам рассыпать какую-нибудь картотеку у себя на работе или в другом оффисе.
Казалось бы, чего тут сложного, группируй в кучки ... но как? «Вставляй в середину правильным образом». Это хороший метод, и он даже имеет название «сортировка включением». Но при этом приходится пролистывать стопочки, которые уже уложены. Не так-то легко решать задачу сортировки, хотя это и не безнадёжно трудно. Вполне по силам.
Теперь как проверить, что карточки рассортированы правильно?
Можно делать так: брать от начала к концу по две и проверять, правильно ли, что вторая стоит дальше первой (сравнивая каждые две подряд идущие). Если карточек N, то придётся сделать N сравнений (и по N операций доставания пары карточек и  закладки их обратно). То есть всего придётся сделать что-то около 2*N на доставание да 2*N на возврат обратно да N сравнений, всего 5*N операций. И насколько же это легче, чем сортировать!!! Знай себе перебирай карточки да смотри на каждые две под пальцами. Пролистал, и готово.
Математики говорят, что трудоёмкость этой проверки О(N) операций. То есть операций нужно примерно N (множитель 5 несущественен. Ну, может, 4 или 6. Считается,  что на трудоёмкость это не сильно влияет)
Но раз так легко проверить, почему не так легко сделать?
Решить задачу сортировки действительно труднее, чем проверить решение. Плохие алгоритмы сортировки имеют сложность О(N в квадрате). Пишем O(N**2). Здесь «**» - обозначение степени. 2**3=2*2*2=8
То есть если Вы опрометчиво рассыпали не 20, а сотни две карточек, то для укладки их обратно Вам придётся сделать 200**2=200*200=40 000 операций. Это будут операции подхода к кучке, просмотра каждой карточки в той кучке, куда вставлять, сравнения с той, что в руках и т.п.  Простые операции, но их 40 тысяч.
Лучшие известные алгоритмы сортировки имеют трудоёмкость O(N *logN). Это при больших N куда меньше, чем N**2, но куда больше, чем просто N… Логарифм по какому именно основанию, это  для оценки трудоёмкости считается несущественным.

Задача вторая, «экономическая»

Рассмотрим модельную задачу, называемую «Задача коммивояжёра». Коммивояжёру нужно обойти по коммерческой надобности N городов, побывав в каждом городе ровно по одному разу, так, чтобы длина пути была кратчайшей.
Начнём с более простого, а именно: как проверить полученное решение. Допустим, что решения лежат где-то в куче, и на каждом написана его длина пути. Берём первое и кладём посреди комнаты.  Берём следующее и смотрим: если оно длинее, чем то, выбрасываем его. А если очередное выбранное из кучи короче того, что посреди комнаты, тогда кладём его в середину, а то выбрасываем. Это – алгоритм поиска наименьшего, он имеет трудоёмкость O(N). !Но мы забыли, что ещё ж нужно было проверять правильность пути в каждом варианте! То есть проверять тот факт, что коммивояжёр на данном пути не схалтурил, был в каждом городе. И только по одному разу. Наверно,  теперь труднее, чем O(N)…
Можно доказать, что трудоёмкость ПРОВЕРКИ задачи коммивояжёра(К) такая же, как у РЕШЕНИЯ, но задачи сортировки.
А вот какая же тогда трудоёмкость решения задачи К?
Ответ удивительный.
Трудоёмкость куда больше, чем O(N**2) и даже больше, чем O(N**M), где M-любая константа. Такие задачи историк математики Б.В Бирюков назвал NP-сложными (НеПолиномиально сложными). Похожий распространённый термин: NP-полная задача (NP-complete).
Итак, для решения задачи обхода 20 городов может понадобиться куда больше, чем 20**4= 20*20*20*20=160000 операций… Конечно, если повезёт, и будет какая-нибудь очень  лёгкая комбинация городов (например- много расположены в ряд), то меньше. А в общем случае без компьютера  точно не обойтись.
А при больших N и компьютер не поможет.
Задача К имеет трудоёмкость O(M**N). Чему равно M, несущественно. Всё равно это такие большие числа… Пусть 100 городов, тогда пусть 2*100,  это сколько будет?...
Сегодня  не умеем  решать задачу К.
Ничем. Ни мозгами, на копьютерами…. С увеличением N трудоёмкость растёт слишком быстро. Не хватит всех компьютеров галактики.
Задача же сортировки P-сложная (полиномиально-сложная)(принципиально проще).

У тех учёных, которые сравнивали трудоёмкость решения задачи и  трудоёмкость проверки решения задачи, возникли два предположения.

(1) Если решение задачи проверить просто, это была трудная (но решаемая) задача
Если решение задачи очевидно, то это была простая задача
Уж если и решение задачи проверить трудно, то это была совсем неподьёмная задача.

(2) Голос оптимиста: если уж возможна P-сложная проверка, то и сама задача была не более чем P-сложная. Это голос вредных преподов: «Мы же тут за пивком их контрольные проверяем, так значит, они там за пивком вполне могут их решать». По этому мнению, сложность проверки и решения принципиально одинаковы. И тогда задача К на самом-то деле тоже всего лишь P-сложная (как и сортировка), но мы просто ещё не знаем этого алгоритма, а знаем только NP-сложные алгоритмы.

Для отдыха: является ли (2) отрицанием (1)?

Предположение вредных преподов (2) – это гипотеза, которая в математике не опровергнута и не доказана.
Мы можем почувствовать, что есть задачи принципиально разной сложности.
Возможно, есть неразрешимые даже для машин.
Возможно, простых задач нет.

Задача третья, охотничья

Допустим, охотник идёт по лесу и видит мелькнувшую впереди большую жёлтую кошку. Он стреляет в кошку.
Таки это и была кошка. В окрестностях села встречается  хозяин кошки, который ломает ружьё и самого охотника об дерево.
Допустим, охотник  идёт по лесу и видит быстро мелькнувшую кошку. Он полагает, что это и есть кошка, тем более, что до села недалеко. Теряет бдительность, и через полчаса становится добычей рыси, которая прыгает ему на плечи с ветки. Рысь то была…
Рысь лишь немногим больше хорошего кота. Что до кисточек, то их ещё надо разглядеть (если они вообще там есть). В рыси есть: усы, цвет=жёлтый, форма=кошка.форма и пр. ( вспомним рассказ про фреймовое представление знаний)
Допустим, Вы идёте по Москве, вдобавок без документов, и в конце квартала видите двоих мужчин с кучерявыми движениями, и один подносит к лицу не то рацию не то большой мобильник.  Вы человек нервный, и прижимаетесь к стене.  Те тоже нервные - они разворачиваются и  убегают. Ни они, ни Вы и не милиционеры и не бандиты.
Всё это ошибки распознавания.
Рассмотрим эту задачу.

Назовём графом  набор узлов, связанных линиями. Удобно представлять узлы в виде шариков различного размера и цвета. Связи – в виде цветных верёвочек. Связи показывают ОТНОШЕНИЯ между компонентами понятия, например, если на голове есть фуражка, то от головы идёт линия к фуражке.  От человека – к мобильнику (коммуникатору). В узлах хранятся, например, числовые характеристики (размер коммуникатора= большой, маленький).
Предположим, что есть два графа, узлы и верёвочки которых перепутали, и в таком виде обе сети бросили на пол. Как узнать, одинаковые ли это графы?
Или хоть в каком-нибудь смысле похожие?

Задача установления изоморфима графов является NP-сложной.

То есть В ПРИНЦИПЕ, даже имея как угодно мощный компьютер, графы можно сравнить лишь приблизительно.
И если наши понятия о предметах представимы в виде графов (а фреймовые - представимы), тогда мы эти предметы даже толком сравнить не можем.
Идентифицировать (распознать) не можем.

Такие ситуации Вам знакомы. Иногда мы распознаём ситуацию с точностью до имеющегося у нас в понятиях фрейма (внешнй облик, одежда). Образ врага по одежде и речи. Что внутри фрейма (экземпляра врага), на разбор этого у нас не хватает времени… Действительно,  иногда похоже, что сознание орудует фреймами и графами. Тогда не удивительно, что мы так глупы.

Это вовсе не разум слаб, это  задачи сложны.

А если совершенство разума всё-таки возможно? Гипотеза (2) не опровергнута. Вдруг в мире фреймов(подграфов) и графов есть быстрые алгоритмы сравнения, только им надо научиться?
Вдруг марсиане что-то такое умеют?
Вдруг в наших понятиях вмещаются не все вообще графы, а только такие, с которыми возможно быстро работать?
Так думали математики некоторое время,  пока не узнали, какие на самом деле и как мы решаем задачи. Об этом  в следующих рассказах.

0

22

editor7 написал(а):

Так думали математики некоторое время,  пока не узнали, какие на самом деле и как мы решаем задачи. Об этом  в следующих рассказах.

Звучит интригующе. Жду продолжение.  :)

А вот еще нового зверя обнаружили на днях

Пучеглазый дятел форумский - образ жизни ведет сидячий. обитает в основном в тех местах, где есть компьютер и интернет. кормится чипсами и пьет пиво. как выяснилось из ряда многострадальных исследований, пучеглазыми они не рождаются, а приобретают этот диффект из-за того, что сутками пялятся в экран компьютера.
язык их чем-то похож на человеческий, но все же отличается неким абсурдом. они могут время от времени выкрикивать - аффтар пейсшы исчо, жж0шь!зач0т!
любимое занятие пучеглазого форумского дятла - эта играть с мышкой. точнее компьютерной мышкой. они ее так любят, что не отпускают из своих рук часами. Этот редкий зверек, как настоящий дятел, непристано долбит. в отличии от лесной птицы, долбит он не клювом по дереву, а лапками по клавишам компьютера.

0

23

Дятел прикольный!!!!!!

продолжение:

Рассказ 6-й. Матрица

Мозги промыть,
отварить,
откинуть на дуршлаг
и подавать с горошком
(Книга о вкусной
и здоровой пище)

Ответ заключается в том, что мозг вовсе не сравнивает обьекты и не порождает обьекты.
У него другая задача.

Вы чувствуете и делаете. Для того, чтобы сделать, у Вас есть руки, ноги, это для работы; коленки, лопатки, и ещё много восхитительных вещей…  Какое-то количество органов для действий у Вас есть; и есть какое-то количество входов, через которые поступают чувства. Говорят, что их 5. Вернее будет сказать, что это каналы, через которые поступает информация.
Сколько её поступает,  и сколько информации мы производим? Мы видим глазами очень подробные и сложные картины «на входе», и вроде бы производим в ответ движения, взятые из довольно стандартного набора, «на выходе». Кажется, что информации на выходе у нас меньше, чем на входе.  Если так, тогда мозг – это машина свёртки, т е отображения многих параметров в немногие. Может, оно и так, а может, и не так. Ведь движения и положения тела у нас плавные, число «степеней свободы» нашего тела+голоса  довольно велико. Пока что зафиксируем найденное нами свойство  (или функцию) организма:
- он производит действия в ответ на действия, которые производят с ним.

Жизнеспособный организм «правильно» реагирует на ситуацию, иначе его, например, сьест рысь (см. рассказ 4). Но в самом деле, откуда берётся такая гордыня полагать, что только наш Разум может разбираться в событиях мира? :) Ведь разборщиков вокруг полно, и это все звери да птицы да мыши. Все прекрасно исполняют свои низменные функции, а если и ошибаются, то не чаще нас. А вот кто или что в них разбирается, и как, это мы сейчас посмотрим.

Функции. «Функция» - это одно из самых частых слов в математике. Функция делает  из набора входных параметров набор выходных. Записывается это так: Y=F(X). Здесь Y-параметры на выходе, Х - на входе (X и Y - это векторы, т е не по одному числу, а по многу), F- формула, или набор формул (правил), или прибор, который в ответ на поступиший  вектор X выдаёт на «исполнительные органы» вектор Y. Исполнительный орган в зависимости от величины чисел Y, поступающих на мышцы, прыгает или низко, или высоко.

Если формула (прибор) F простая, то у неё будет мало гибкости в выходных реакциях.
Можно попытаться по обстановке корректировать какие-то параметры (детали) прибора F. Для этого, понятно, нужны какие-то ещё другие корректирующие приборы рядом. Именно так устроены мозги, которых вокруг нас в природе полным-полно. 

Первый удивительный факт состоит в том, что если просто рядом свалить и лишь бы как соединить очень-очень простые приборы F, то на выходе  этого клубка проводов и деталей можно получить достаточно разнообразные, «гибкие» сигналы.

При этом отпадает надобность в сознательной регулировке каждого прибора извне. Оно всё само бессознательно регулируется и, надеемся пока, устаканивается.

Каждый прибор (а они все одинаковы) – это нейрон. Нейрон имеет один выход и много входов. Выходной провод (это и в самом деле провод) называется аксон, входные – дендриты.  Нейрон реализует какое ему повезёт от рождения, но примерно одно и то же F: Y=F(X). В исследованиях без ограничения общности полагают, что F нейрона -  это сумма входных сигналов (некотрые поступают со знаком «минус», то есть вычитаются, а Y на выходе - всего одно число, а не вектор (один аксон на выходе). То есть совсем завалящие простенькие нашлись в природе приборы F - нейроны…

Выходы нейронов соединены хаотически (так оно само выросло) со входами других, а некоторые выходы торчат из мозга наружу и подключены к органам движения и к другим органам. Также некоторые дендриты начинаются в органах (чувств). Есть относительно специализированные «промежуточные» нейроны . Схема приблизительна, но на достигнутое обьяснение работы это не влияет.

Где же здесь находится сама бездна морали, т е «содержание» нейронной сети? Ведь мы отметили, что вид функций F не меняется. То есть сами клетки (нейроны) не изменяются (пока их не прихлопнут водкою. Они даже  не делятся. Именно в нервной, не-регенерирующейся ткани были впервые обнаружены т. н. стволовые, или недифференцированные исходные клетки, из которых  теоретически могли бы вырасти  новые нейроны взамен погибщих. Но эта ремонтная система не работает). Итак, нейроны неизменны, а что же меняется?

Меняется проводимость в тех местах, где аксоны (выходы) одни нейронов соединяются со входами (дендритами) других.  В каждом месте соединения проводов от нейронов (на контактной площадке) как бы заключено ЧИСЛО сопротивления сигналу. Эти числа могут изменяться.
Изменяются они сами по себе, и вот каким с виду естественным образом. Если через данное место стыка сигнал проходит часто,  сопротивление здесь становится меньше нормального, и тогда сигналу проходить легче. Если сила сигнала превышена, контакт перегорает полностью или частично, сопротивление повышается, и возвращается к нормальному лишь через некоторое время.

Второй удивительный факт состоит в том, что такое поведение контактов и в самом деле (как можно было безосновательно догадаться) влечёт за собой эффект самообучения сети. То есть, грубо говоря, на «правильных» направлениях (тех, которые получают подтверждение от повторного исполнения программы поведения) проводимость снижается.

Это и есть нейронная сеть.  Это ворох сумматоров, соединённых проводами с контактиками, на которых написаны ЧИСЛА проводимости. В этих числах всё-всё содержание сознания…

Пока подумаем, а как же получается, что РАЗНЫЕ топологии сети, да при них, понятно, несравнимые наборы чисел определяют такие похожие сознания? (топология – это что с чем соединено)

0

24

editor7 написал(а):

Мозги промыть,
отварить,
откинуть на дуршлаг
и подавать с горошком
(Книга о вкусной
и здоровой пище)

:D  :D  :D

Отличная статья, editor! Молоток!! Класс!!! Да все не так просто...

http://psihologiya.net/uploads/posts/2008-08/thumbs/1218099104_0308.jpg

Отредактировано Артем (2009-10-01 13:41:08)

0

25

ой, ребята ну вы даёте! Такие смешные у вас звери получились. Мне особенно понравился офисный дятел.

editor7 у вас очень оригинальные рассказы. Я с такими сталкиваюсь впервые. спасибо.

0

26

Дорогие читатели,
благодарю за внимание. Картинку посмотрю позже, у мя отключены.

значит, продолжаем:

Рассказ 7-й. Заморочки

Щёлкни кобылу в нос, она махнёт хвостом
Козьма Прутков

Теперь мы знаем, как  в принципе устроен мозг. Можем при нашем уровне знаний  строить догадки о том, чего от него ожидать. Например, пусть в описанной сети есть группа клеток, по которым сигнал ходит постоянно как бы по кругу.  Почему сигнал не пропадает? Да то ли он питается от источников энергии в самом мозгу, то ли немножко подпитывается от какого-то вялого внешнего источника, например, от тех  нервов, что идут от органов чувств. А от этой группы клеток есть выходной сигнал (по аксону) куда-то на правую конечность.  Однако уровень сигнала на выходе в обычном состоянии слишком мал для того, чтобы эту конечность привести в действие. Теперь допустим, что нашего мудреца пихнули на эскалаторе настолько сильно, что в означенной группе клеток уровень сигналов резко возрос, и правая конечность мудреца запустилась от того выходного сигнала в работу. «На автомате» он дал в морду  предполагаемому обидчику, и в морду! И понеслось! ….

Проницательный читатель спросит, зачем здесь «группа клеток» с зацикленным сигналом в ней.  Природа вполне могла предусмотреть прямую передачу сигналов от боков к рукам, чтобы если в бок, так сразу в морду.  Всё правильно, такие соединения у нас есть, и Павлов назвал их рефлекторными дугами. А «группа клеток» работает не так, в ней заранее циркулирует запас энергии, которого почти хватает для запуска выходного сигнала. Лишь чуть-чуть  добавить, и …. В морду, да. Одно неосторожное касание, а то и внутреннее представление или воспоминание.  Ведь к нашей возбуждённой группе клеток подведены сигналы не только от рёбер, но и из каких-то неизвестно каких областей мозга, где происходит обработка запомненных образов, мышление… Вдруг как-то очень удачно подумает, и от самого процесса мышления  недостающая энергия вкачается в возбуждённую область.  И правая конечность сработает от того, что так решил «внутренний мир».

Это – умозрительные предположения. Однако интересно, что примерно так оно и работает. Возбуждение, торможение и рефлексы изучал Павлов; но он не связывал поведение с устройством сети, как вот вульгарно связали только что мы. Он накапливал экспериментальные данные о реакциях.  Анатомию сети изучал тогда Гольджи; но он не строил математическую модель сети. Павлов писал «скучно» и узкоспециально, и публика читала в те времена больше не его, а Фрейда. Фрейд разрушал привычные стереотипы, он освобождал место для новых направлений исследования и давал возможность дышать легче. Зато теперь в НЛП реально работают механизмы, которые, можно сказать, описывал Павлов, да и секреты воздействия терапии и текстов Фрейда мы теперь понимать можем.

Чего тут  точно нет, так это совершенства. Машина работает плохо.
Первое, такая сеть неустойчива.  Такие мозги надо всё время усыплять и будить. Для этого вне мозга у нас есть специальные физиологические механизмы: железы внутренней секреции и даже синхроимпульсы вроде компьютерных…
Второе, даже и запущенная машина часто работает просто неправильно. Например, неподходящие сигналы тоже «сваливаются» в возбуждённую область и запускают (неадекватно) ту реакцию, за которую отвечает эта область, а не ту реакцию, которая нужна.

Из возбуждённых областей и связей между ними состоят  «заморочки», или по павловской терминологии, «динамические стереотипы», или, по психоаналитической, «комплексы», или – как сейчас в основном их принято называть - паттерны. Pattern – значит «образец», одна из наших стандартных программ поведения.
Примеры «плохих» свойств паттернов:
- паттерны имеют свойство к разрастанию.  Если человек не получает новых  ощущений и знаний, его кругозор сужается, и реакции упрощаются.
- паттерны имеют свойство упрочняться при регулярном подтверждении того, что они подходят к обстановке.

О свойствах паттернов цитируем Де Боно:

«1.Паттерны становятся все более жесткими, поскольку они управляют нашим вниманием.
2.После того, как паттерны уже установились, изменить их очень трудно
3.Информацию, включенную как часть в один паттерн, довольно трудно использовать как часть совершенно другого паттерна.
4.Имеется тенденция к "центрированию", то есть все, что хоть немного похоже на стандартный паттерн, будет восприниматься как стандартный паттерн.
5.Паттерны могут создаваться на основе более или менее произвольных делений. Нечто непрерывное может быть разделено на отдельные единицы, развивающиеся независимо. Как только такие единицы возникают, они становятся самоподдерживающими. Разделение может сохраняться долго, исчерпав свою полезность, или вмешиваться в области, где оно вообще не является полезным.
6.Система обладает большой непрерывностью. Малое отклонение в одной точке может привести к большим отличиям позже.
7.Последовательность поступления информации играет слишком важную роль в ее организации. Таким образом, любая организация скорее всего не будет наилучшим размещением всей доступной информации.
8.Существует тенденция резко переключаться от одного паттерна к другому (подобно чернильнице-непроливайке с двумя устойчивыми положениями) вместо плавного перехода.
9.Даже если различия между двумя соперничающими паттернами очень тонки, один из них будет выбран, а другой - целиком проигнорирован.
10.Имеется сильная тенденция к "поляризации". Это означает движение к одной из крайних точек вместо удержания баланса где-то между ними.
11.Установившиеся паттерны становятся все крупнее и крупнее. Иначе говоря, отдельные паттерны связываются в одно целое, давая все более и более длинную последовательность, которая доминирует настолько, что становится паттерном сама по себе. Ничто в рамках самой системы не разрушает такие длинные последовательности.
12.Ум - система, создающая и использующая клише»

Можно физически разрушить неадекватный паттерн вместе с теми нейронами, которые отвечают за поддержку паттерна. Пьянице ДЕЙСТВИТЕЛЬНО легче после выпивки,  потому что те заморочки, что мешали жить (чувствовать и соображать), разрушены – вместе с клетками мозга… Наверно, Вы слышали про такие ужасные способы «лечения», как электрошок или инсулиновый шок. Кроме вредных, разрушают и другие паттерны, т е саму личность.

Есть мастера, которые по определённым методикам могут изменять привычные схемы поведения с помощью всего лишь слов.  Самый знаменитый из них – Милтон Эрикссон, который лечил больных тем, что рассказывал настоящие и выдуманные истории про себя и своих пациентов.

... но это ещё не конец. Есть 8-й рассказ с фракталами (как без них:) и с картинками

0

27

Интересно про мозг. Ловко и метко сказано. спасибо.

editor7 написал(а):

Картинку посмотрю позже, у мя отключены.

А почему картинки не видны? надо в профайле посмотреть. может что-то надо просто включить. там в профиле есть - отображение. В них нужно кликнуть в - Показывать изображения в сообщениях.

Отредактировано Лучник (2009-10-06 17:31:15)

0

28

картинки я отключил, чтобы не зажирали трафик :(((((((((
заведу спутниковый телефон, включу
И вот последний расссказ (8-й), с картинками. Они малнькие, проход по ссылке -

Рассказ 8-й. Обещанные картинки

Как если бы я  считал «мышление» не имеющим силы, не зная,  к а к   я это делаю
(Р.Скиннер, Д.Клииз)

Мы знаем, как это работает, но всё-таки понять не можем.  (При этом мы думаем, что понимание – это ценность). В прошлом рассказе я продемонстрировал попытки понимания (истолкования) поведения нейронной сети.  Некоторые попытки были грубые и неуклюжие, некоторые правдоподобные и даже подтверждённые клинической практикой.  Вернёмся к математике. 

Итак, мозг никакие обьекты не сравнивает, не порождает формулы согласно правилам вывода, тем более он ничего не вычисляет (пока его не заставит препод).
По входным водействиям (на него) мозг вырабатывает ответные воздействия (на внешние предметы). (Заметим в скобках, что именно такое, обобщённое определение компьютеру дала дочь Байрона в 30-х гг 19 в.) То, что на выходе системы (наши действия), как правило, совсем другого рода, чем то, что поступает на вход. Солнечный свет и запах сосен – другое, чем наши ответные кувыркания на полянке. То есть мозг работает как отображение F:  Y <- F(X), притом такое отображение, что множество Y выходных параметров вовсе не совпадает с множеством X входных параметров. Но внутри, в самом мозгу, нейроны и соединения расположены так, что выходные сигналы от групп нейронов могут оставаться внутри мозга. То есть в нейронной сети происходит многократное выполнение  преобразований вида X <- F(X), где X - сигналы во «внутреннем формате» нейронов.

Итак, в нейронной сети «прогоняются» преобразования F: Xследующее <- F(Xпредыдщее), причём Xследующее c выхода снова подставляется на вход в скобки, и т.д. Такие процессы в математике  хорошо изучены. Они называются «итерационные процессы». В 18 веке их начали применять для решения уравнений. Дело в том, что при определёнyых свойствах  отображения F сигналы стабилизирутся. То есть через какое-то число итераций F уже почти не изменяет входной X, и получается приблизительное равенство X=F(X). А такой Х и есть приблизительное решение уравнения X=F(X). Обычно уравнение можно переписать в этом виде, причём разными способами в зависимости от того, какой X тащить в левую часть. И обычно можно подобрать при этом такую формулу F, что процесс СХОДИТСЯ.
В 18-м веке рассматривали в основном «хорошие», сходящиеся итерационные процессы, которые якобы могли иметь практическое применение для решения задач. Учёные поступали так, конечно, из-за морали, а аморальные учёные ориентировались на сходимость потому, что РАСХОДЯЩИЕСЯ итерации изучать было труднее. Сейчас мы рассмотрим картинки и обьекты, которые стали доступны лишь в наше компьютерное время…

Какие бывают виды расхождения итераций?
При многократной отработке X <- F(X) либо Х будет улетать куда-то далеко, либо будет крутиться  неподалёку от начальной точки X0 в ограниченной области.  При этом если Х один раз выскочил достаточно далеко, следующие улетят ещё дальше, и уже безвозвратно.
У  начальной точки Х могут быть три варианта судьбы:
- первый: Х уткнётся в конкретное фиксированное место, и там останется (это –  банальные и «полезные» сходящиеся итерации)
- второй: X  улетит в бесконечность (это – расходимость такого сорта,  которым особо не интересовались. Нейроны всё равно не пропустят, они  «обрежут» сигнал большой мощности);
- третий: X будет попадать в разные места пространства, но все неподалёку от начального Х0.

Уже я словами изображаю картинки, давайте наконец посмотрим на них!  Чтобы увидеть всё на экране (бумаге), предположим, что Х – точка на плоскости.  В многомерном случае, полагаю,  всё аналогично.

http://artage7.4sql.net/FRIENDS/F1.GIF

Это очень модный, знаменитый обьект - фрактал, называемый множеством Мандельброта. Это и есть пришелец из мира высоких скоростей – чтобы вычислить цвет одной точки, нужно произвести многие тысячи операций.  Бенуа Мандельброт  открыл этот орнамент в 50-е гг 20 века с помощью экспериментальных компьютеров фирмы IBM.  Про фрактал я скажу ещё через несколько строк, а пока смотрим на чёрненькую  картинку внизу справа.

На маленькой картинке две не такие красивые, как множество Мандельброта, но всё же изящные мини-галактики, или два математических цветка. Они состоят из точек. Эти точки – те самые последовательные X, которые порождаются функией Мандельброта F.  Начальная точка находится в месте смыкания малого и большого кругов вверху. Там на большой картинке крестик.

Точки на маленькой картинке разного цвета. Цвет определяет «возраст» точки, т е сколько итераций прошло до её появления в этом месте. Видим, что точки Х группируются в двух областях. Изображение судьбы (траектории) точки Х в процессе X<-F(X) называется ОРБИТОЙ.

Таким образом, паттерн F в мозгу живёт  вроде итерационного процесса. Он пребывает то в состоянии, соответствующем левой спирали, то правой. Поскольку человек сидит спокойно, уровень сигнала на «выходах» паттерна недостаточен для того, чтобы запустить управляемое им действие. Человек сидит спокойно, а его состояние  меняется от левой до правой спирали на маленькой чёрной картинке справа. Извне (или от других областей нейронной сети) на вход паттерна поступает дополнительный сигнал, который заставляет сработать поведение, соответствующее то ли левой, то ли правой спирали. Человек то ли обрадуется, то ли разозлится. То ли он всё время тапочком играет.

Возможно, эта “более математическая”  модель имеет отношение к так называемым циклоидным состояниям психики. Болезнь называется МДП – маниакально-депрессивный психоз. Человек  по нескольку дней пребывает в одном из двух ненормальных состояний: «депрессивном» или «маниакальном» (термины эти в разных отраслях психологии имеют разный смысл, это не та депрессия, которая бесчувствие у здорового человека). Здорового человека… МДП считается тяжёлой органической болезнью, и лечат её лекарствами или ужасными способами вроде тех, что описаны в рассказе 6. Между тем, возможно, это «информационная» болезнь, неверная программа (числа при синапсах), а сам компьютер (нервная система)  в полном порядке.

С точки зрения наших моделей - когда ожидать поведения вроде МДП? Когда орбита состояний паттерна имеет неудачную форму; и главное, когда работает в основном ТОЛЬКО этот паттерн! Паттернов в мозгу много, и их  предпочтительные состояния достигаются ими в разное время, а не одновременно. К тому же паттерны управляют совсем разными сторонами поведения. К тому же их состояние (текущее Х) зависит от наличия и силы  внешней коррекции этого Х.
Для тех, кто запутался, напоминаем, что точка Х – это не точка в мозгу, а это состояние всего мозга или его части. Возможных состояний много, и каждое состояние мы изображаем цветной точкой на многомерной плоскости орбит. М-да, на многомерной плоскости : ) ….

Итак, циклоидные состояния должны возникать, если доминирует только один, притом «неудачный», паттерн, похожий на тот, что на маленькой картинке справа внизу. Если у него в голове только этот паттерн. Если жизнь пациента скудна. Если паттерны долгое время не менялись (как нам рассказывал Де Боно, паттерны имеют тенденцию 1)к упрочнению 2)к слиянию). 

Вот любимое психологами сравнение. Человек ходит всё время по одной и той же местности. В конце концов его глаз «замыливается», и человек вместо местности начинает пользоваться её мысленной картой (либо ему сразу ДАЛИ карту). Как нам рассказывал Де Боно («центрирование»), человек может применять карту не от той местности – к совсем другой местности, которая показалась ему похожей на ту (или ему так велели). Если он не получает в ответ щелчка по носу, не падает в овраг, то  он ещё больше укрепляется в убеждении подходящести этой карты. Сидя в одной и той же деревне, путешественник и вовсе перестаёт сверять местность с картой, и в конце концов в голове его остаётся только одна слишком простая карта от не пойми чего. Само наличие карты тормозит процесс сверки с местностью! Если доминирующий паттерн реализует итерационный процесс с двумя состояниями, имеем что-то вроде МДП; если итерационный процесс сходится (из почти любой начальной точки X0 в одну и ту же), тогда перед нами конвергентное мышление.

Образец такого конвергентного мышления только что Вам  продемонстрирован. Математик,  который занимался численными методами (это я), притягивает за уши «родную» модель к медицине. В самом деле, что ли, паттерны(?) МДП ты хочешь перестраивать словами, как Эрикссон?! Или фанатиков-изобретателей психотерапией лечить?
Сверяем с местностью. Пациент психиатров с виду вовсе не такой, как «здоровый» посетитель тренингов. Ему физически больно. Страшно. Он неправильно двигается, и скорее всего, вообще не воспринимает слов… Он и в комнате-то не удержится…

Это умозрительные  построения.
То, что видит ум… То, что он хочет «понять».

Теперь наконец вернёмся к большой, разноцветной картинке. На ней много  разных и красивых завитушек. Если посмотреть на какую-нибудь завитушку в микроскоп, можно увидеть внутри ещё завитушки; и ещё, и ещё, и так до бесконечности. Эта картинка бесконечно сложна. Притом те узоры, что внутри, похожи на те узоры, что на «более высоком» уровне, но не совпадают с ними. При бесконечном полёте вглубь фрактала мы будем встречать бесконечное разнообразие всё новых и новых форм и цветов. Формула, по которой вычисляется картинка (формула функции F) очень, очень проста. Да вот она: W=Z*Z+1.Откуда же красота и сложность? В натуре, на ровном месте целая новая вселенная.

Можно смотреть на картинку и пробовать «понимать», почему узоры имеют такую, а не другую форму; почему они именно так расположены относительно друг друга и почему они похожи на ракушки.
Смотря просто на картинку (результат), можно строить правдоподобные теории о её смысле, гармонии и о законах её устройства. При том ничего не зная про формулу F.

Мы пока не умеем изловить связь тем между фактом,  что узор нам что-то говорит, и между простым, безличным механизмом вычисления узора. ВСЁ, что есть в узоре, полностью определено простой формулой, по которой считаем цвет точки. Но как именно оно определено, мы понимать не умеем. Мы интерпретируем солнечный свет и радугу, как бы смотря на них из другого, внемашинного мира. Этот мир может быть образным, литературным и поэтичным, а может быть и занаученным формализованным,  как Каббала Лайтмана, но этот зрительский мир интерпретации  не похож на действительный  механизм построения радуги.

У нас в мозгу тоже ВСЁ определено набором чисел, которые характеризуют «проводимость» синапсов. Как устроен этот мешок с числами, мы знаем (знаем, что и как соединено и по каким формулам работает). Поведение животного (результат) больше похоже на очень сложный  и красивый орнамент, в котором мы  ХОТИМ увидеть какие-то свои законы…

Как работает, мы знаем; а результат (узор поведения) понять не можем. Строим предположения, которые связаны с нашими желаниями.

Необходимое замечание!  Я не утверждаю, что мышление имеет фрактальную природу. Фрактал приведён только в качестве примера «похожей непонятности».  Работу модели паттерна изображают орбиты, а не сам фрактал. Орбиты могут и не быть фрактальными. Фракталы могут не быть красивыми или «сложными».
Есть и другие похожие вещи, о которых мы тоже знаем принцип работы, да вдобавок мы сами их и сделали, но результат всё равно  понять не можем. Например,  это гетеродин в радиоаппаратуре или CDMA-модуляция в мобильном телефоне  Skylink. Что голос извлекается из сигнала CDMA, это получается по формулам. Можно произвести формально правильные на каждом этапе математические выкладки, и доказать, что голос будет извлечён. Но иногда хочется ещё вдобавок как-то «понять» это помимо формул…

И в заключение ещё картинка.

http://artage7.4sql.net/FRIENDS/F3.GIF

Этот фрактал тоже порождён простой формулой. Картинка, привычное дело, опять бесконечно сложная. «Закон устройства» её прямо очевиден. Она сделана этак овально из таких этаких овалов. Каждому зрителю должно быть ясно, что картина символизирует  бесконечную сложность полушарий головного мозга. Только нечестивые еретики говорят здесь о яичках.  Видим мы также противозаконную окружость, которая нагло пересекает поперёк все овалы несообрано ни с какими понятиями. Зная формулу, можно формально доказать, что эта окружность там есть. Но из самого вида картинки мы это понимать пока не умеем.

Программы просмотра фракталов здесь:
http://www.fractint.org/
http://en.wikipedia.org/wiki/Fractint
http://fractals.narod.ru/links.htm

Леди Ада Августа Лавлейс – дочь поэта лорда Байрона. Сотрудница изобретателя компьютера Чарльза Бэббеджа. Считается первым программистом (программисткой). Сам компьютер Бэббеджа не сохранился (сохранились его обломки, может, программистка его расколотила?), и так и не известно, работал ли он.  Первый промышленный компьютер был построен через 15 лет  в 50-е гг 19 в. Это был станок с программным управлением – ткацкий станок Шаккарда.

Задача для математиков
Каких  итерационных процессов больше, сходящихся или расходящихся?

Пример для тех, кто хочет ощутить эти процессы.
Пусть у нейрона всего 2 входных сигнала поступает с дендритов, и эти сигналы: Х1, Х2
Пусть у нейрона один аксон , на него выходит сигнал У
Пусть передаточная функция нейрона линейная, т е
У<=A1*X1 + A2*X2 где А1,А2 - веса синаптических связей
<= -стрелка, показывающая, что левая часть вычисляется по правой.
Намеренно сначала рассмотрим эту модель даже более примитивную. чем в теории нейросетей
Пусть таких нейронов всего 2. Пусть выход первого заведён на оба входа второго. Выход второго на оба входа первого. Нарисуйте. В числах:
Первый нейрон: Y1<=A11*X11+A12*X12
Второй  нейрон: Y2<=A21*X21+A22*X22
Второй подключён к первому:
X11<=Y2
X12<=Y2
Первый ко второму:
X21<=Y1
X22<=Y2
Подставляем эти Хы в два первых выражения
Получаем
Y1<=A11*Y2+A12*Y2=Y2(A11+A12)
Y2<=A21*Y1+A22*Y1=Y1(A21+A22)
или
Y1<=B1*Y2
Y2<=B2*Y1
здесь Y1 и Y2 - сигналы на аксонах, B1=(A11+A12) и B2=(A21+A22) - это константы, определённые весами синаптич. связей.

Для моделирования работы этой пары нейронов  выберем начальные Y1 Y2
и по формулам

Y1<=B1*Y2
Y2<=B2*Y1

пересчитаем новые Y1 Y2, потом подставим из в правую часть, получим новые, и т д
Это и есть итерационный процесс.
Возможны варианты того, куда придут и придут ли Y1 Y2 в результате длительного повторения итераций. Это описано в рассказе (8)
Если в процессе повторения итераций увидим, что вычисляемые пары Y1 Y2 перестают отличаться друг от друга, то итерации СХОДЯТСЯ, и полученные Y1 и Y2 - стабилизировавшееся состояние, куда мы пришли от начального.

Уже в такой формулировке задача почти нетривиальная, да и кое-что увидеть можно :)
Если же нейронов много, и выход каждого заведён на вход каждого (кроме самого себя), то имеем бездиагональную матрицу. Итерации сходятся, если модуль определителя матрицы <1

Это к примеру. Впрочем, можно двигаться и по-другому

0

29

Круто! Вот это рассказ! Спасибо!

0


Вы здесь » ЛИТЕРАТУРНЫЙ КЛУБ - СЕРЕБРЯНЫЙ РАССВЕТ » Загадки и тайны вокруг нас » Непознанное. Семь рассказов о математике


Создать форум © iboard.ws